Результирующий вектор

Содержание
  1. Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами
  2. Сложение векторов
  3. Вычитание векторов
  4. Умножение вектора на число
  5. Скалярное произведение векторов
  6. Вы знаете, что такое векторное произведение векторов? Тогда вы знаете половину всей физики!
  7. Итак, векторное произведение векторов
  8. И вот существует такая операция над векторами, называемая “векторное произведение векторов”
  9. Зачем нужна операция векторного произведения векторов, определенная выше?
  10. Сложение и вычитание векторов
  11. Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
  12. Разность векторов. Вычитание векторов
  13. Умножение вектора на число
  14. Сложение и вычитание векторов. урок. Геометрия 8 Класс
  15. Вектор: определение, сложение, умножение, скалярное и векторное произведение
  16. Векторные компоненты
  17. Единичный вектор
  18. Умножение вектора на скаляр
  19. Скалярное произведение двух векторов
  20. Векторное произведение двух векторов
  21. Смешанное произведение трех векторов
  22. Векторы
  23. 1. Сложение векторов
  24. 2. Вычитание векторов
  25. 3. Векторы и числа
  26. 4. Разбиение векторов на координаты
  27. Обратная задача

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Результирующий вектор

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора – по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и – это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть 1 и задачу 13. Просто, понятно и доступно. Автор – репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Мега-распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-na-ege-po-matematike-v-zadache-v6-dejstviya-nad-vektorami/

Вы знаете, что такое векторное произведение векторов? Тогда вы знаете половину всей физики!

Результирующий вектор

Из всех операций, которые можно применять для решения физических задач, есть одна, знание которой позволяет практически “в уме” решать множество задач про электромагнитные силы и поля, вращение твердых тел и много-много других.

Более того, понимание сути данной математической операции ставит вас на целую голову выше остальных, в понимании физики.

На первый взгляд странная операция при ближайшем рассмотрении оказывается очень простой.

Итак, векторное произведение векторов

Но вначале кое-что важное.

Очень важное замечание!Здесь и в дальнейшем (и в предыдущем изложении) мы всегда рассматриваем «Правую» систему координат.

Правая система координат! Берем правую руку. Раскрываем ладонь перед собой. Оттопыриваем большой палец – это положительное направление оси X.

Четыре пальца перпендикулярных большому показывают положительное направление оси Y.

Тогда из открытой ладони прямо на вас перпендикулярно осям X, Y будет выходить положительное направление оси Z.

Сильно хлопаем себя открытой ладонью правой руки по лбу! Навсегда запоминаем правильное расположение системы координат.

Если рисовать неправильную систему, то будут ошибки.

Итак, определим векторное произведение векторов:

Возьмем нашу правую систему координат и зададим три единичных вектора, по одному вдоль каждой из осей.

Тогда любой вектор

можно записать в виде суммы трех векторов

Легко заметить, что скалярные произведения наших единичных векторов

Эта удобная тройка векторов очень пригодится нам в дальнейшем.

Помним! Вектора при переходе от одной системы координат к другой не меняются. И результаты векторных операций при переходе от одной системы координат к другой также не меняются!

И вот существует такая операция над векторами, называемая “векторное произведение векторов”

«Ну и ну! Как это? Для чего?»

Все очень просто!

Для начала убедимся, что векторные произведения наших единичных векторов между собой:

Надеюсь, все уже увидели, что от перемены местами сомножителей меняется знак векторного произведения?

Поиграв с единичными векторами, убедитесь что векторное произведение двух векторов дает в результате вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат вектора сомножители, а по модулю равный площади параллелограмма, ограниченного векторами сомножителями!

Всегда во всех задачах выбирайте правую систему координат так, чтобы было просто и удобно! Как на картинке выше.

Зачем нужна операция векторного произведения векторов, определенная выше?

Рассмотрим задачу «о рычагах».

Пусть у нас есть твердое тело, представляющее из себя систему из трех стержней, жестко скрепленных в одной точке. И эта точка закреплена в пространстве так, что она является центром вращения («точка закрепления шарнира»). Как на рисунке ниже.

К концам стержней приложены силы

Силы создают вектора моментов сил – «крутящие моменты», приложенные к нашему твердому телу.

Момент силы – это модуль вектора момента силы. Синонимы вектора момента силы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент).

Наглядно представить себе вектор момента силы можно следующим образом: Представьте себе юлу (детскую игрушку «волчок»). Чем сильнее мы его закрутим за ось, тем быстрее и дольше он вращается.

Закрепим ось волчка на какой-то прямой так, чтобы она могла свободно вращаться. Представьте теперь, что вы будете тянуть за тело волчка, стараясь повернуть его вокруг закрепленной оси. А ваш товарищ будет пытаться удержать ось рукой.

Представили?

Будет ли волчок поворачиваться вокруг оси?

И если вы будете тянуть его в одну сторону, а ваш товарищ в другую, то в какую сторону будет поворачиваться волчок?

В ту, чья сила больше?

Не совсем.

Представим ситуацию на картинке выше. Вы взялись ближе к оси, а ваш товарищ взялся за диск. Если ось достаточно тонкая, а диск достаточно большой, то как бы вы ни старались, волчок будет поворачиваться в сторону вашего товарища. Хотя силу вы приложите гораздо большую, чем он.

«Рычаг», скажете вы. И будете правы!

Задача о рычагах по сути аналогична. И решается она очень просто с использованием операции векторного произведения, которую мы с вами рассмотрели выше.

Из формул (74) – (76) мы знаем, что векторное произведение двух векторов есть вектор, который по направлению перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора сомножители. Величину этого вектора по модулю можно вычислить с учетом формул (71) – (73), а модуль вычисляется по простой формуле:

Так вот, вектор момента силы, приложенной к телу, равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы умноженному на вектор силы.

Начало координат удобнее выбирать в точке закрепления тела на шарнире (например, в точке подвеса перекладины рычажных весов). Можно в любой другой.

Но мы с вами начало координат всегда берем в точке, относительно которой тело может поворачиваться. Потому, что так проще вычисления.

Складывая вектора моментов всех приложенных к телу сил мы автоматически находим результирующий вектор, который и определяет в какую сторону и насколько интенсивно будет вращаться наша тройная гантель, показанная на рисунке выше.

Вдумайтесь! Мы просто складываем три вектора момента, от каждой из сил.

Если сумма равна нулю, то наше твердое тело «стоит на месте». Если не равна нулю, то наше тело имеет ненулевой момент сил относительно «точки подвеса» в плоскости, перпендикулярной нашему вектору суммы моментов.

И угловое ускорение, которое пропорционально модулю этого вектора.

Можно обобщить задачу на произвольное твердое тело с закрепленной в пространстве точкой подвеса и неограниченным количеством приложенных сил, как показано на рисунке. ниже.

Оно будет вращаться относительно оси, в которой лежит наш результирующий вектор момента сил.

И вращение будет тем интенсивнее, чем больше этот результирующий вектор по модулю.

Направление вращения будет зависеть от направления этого вектора. Направлен в одну сторону, вращается тело в одну сторону, направлен в другую, тело вращается в обратную.

Причем, если тело закрепить на оси, как в случае рассмотренного нами волчка, то задача становится двумерной. Вращение может быть только относительно оси и, соответственно, можно рассматривать моменты сил, только в системе координат, перпендикулярной оси. Это вы можете рассмотреть сами.

Вопрос:каково условие невращения твердого тела в общем случае, показанном на рисунке 11? Другими словами, при каких условиях общий (суммарный) момент вращения тела равен нулю? Ответ:Если сумма моментов всех сил равна нулю, то тело находится во «вращательном равновесии» – т.е. не имеет суммарного момента вращения.

Эта задача – более общая по отношению к школьной задаче о рычагах, изображенной на рисунке ниже.

Благодаря определенной нами операции векторного произведения векторов задача решается в одно действие.

Решите ее самостоятельно!

Или посмотрите решение в нашем учебнике.

Первому, кто ответит на вопрос, почему ось вращения вращающегося волчка (Юлы) обычно не “стоит” строго параллельно, а совершает некие колебания вокруг некой оси, получит в подарок цифровую ручку от нашего спонсора. Ответы можете писать на странице в .

Так же, как всегда, получит подарок тот, кто первым найдет принципиальную ошибку в изложении материала.

Ну и как всегда ставьте лайки и подписывайтесь на канал!

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5aec3f5edd248401aaf986db/5b17f1cb865165b0726dcb71

Сложение и вычитание векторов

Результирующий вектор

  • Справочник
  • Геометрия
  • Вектора
  • Сложение и вычитание векторов

Векторы: \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{u_1} \), \( \vec{u_2},\;\ldots\; \)
Нулевой вектор: \( \vec{0} \)
Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \), \( {Y_2} \), \( {Z_2} \)

Определение 1 Если точка \( A \) начала какого-либо вектора \( \overrightarrow{a} \), то говорят, что вектор \( \overrightarrow{a} \) отложен от точки \( A \) (рис. 1).

Теорема 1 От любой точки \( K \) можно отложить вектор единственный \( \overrightarrow{a} \).

Существование: Имеем два следующих случая:

  1. Вектор \( \overrightarrow{a} \) – нулевой.

    Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором \( \overrightarrow{KK} \).

  2. Вектор \( \overrightarrow{a} \) не является нулевым.

    Пусть точка \( A \) является началом вектора \( \overrightarrow{a} \), а точкой \( B \) – конец вектора \( \overrightarrow{a} \). Проведем через точку \( K \) прямую \( b \) параллельную вектору \( \overrightarrow{a} \).

    Будем откладывать на прямой отрезки \( \left|KL\right|=|AB| \) и \( \left|KM\right|=|AB| \). Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{KL} \) и \( \overrightarrow{KM} \).

    Из этих двух векторов нужный нам вектор — вектор, сонаправленный с вектором \( \overrightarrow{a} \) (рис.2)

Рисунок 2.

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Суммой двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называется третий вектор \( \vec{c} \), проведенный из начала \( \vec{a} \) к концу \( \vec{b} \), если начало вектора \( \vec{b} \) совпадает с концом вектора \( \vec{a} \).

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

\( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \)

Суммой нескольких векторов \( \vec{a_1} \),\( \vec{a_2} \), \( \vec{a_3},\;\ldots \) называется вектор \( \vec{c} \), получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

\( \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \ldots + \vec{a_n} \)

Коммутативный закон сложения
\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)

Ассоциативный закон сложения
\( \left( {\vec{a} + \vec{b}} \right) + \vec{c} = \vec{a} + \left( {\vec{b} + \vec{c}} \right) \)

Сумма векторов в координатах При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.

\( \vec{a} + \vec{b} = \left( {{X_1} + {X_2},{Y_1} + {Y_2},{Z_1} + {Z_2}} \right) \)

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

  1. Для произвольного вектора \( \overrightarrow{a} \) выполняется равенство

    \[ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a} \]

  2. Для произвольных точек \( A,\ B\ и\ C \) справедливо следующее равенство

    \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \]

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разностью двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называется вектор \( \vec{c} \) при условии:
\( \vec{c} = \vec{a} – \vec{b} \), если \( \vec{c} + \vec{b} = \vec{a} \)

Разность векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равна сумме вектора \( \vec{a} \) и противоположного вектора \( -\vec{b} \):
\( \vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + \left( -\vec{b} \right) \)

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
\( \vec{a} – \vec{a} = \vec{0} \)

Длина нулевого вектора равна нулю:
\( \left| \vec{0} \right| = 0 \)

Разность векторов в координатах При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.

\( \vec{a} – \vec{b} = \left( {{X_1} – {X_2},{Y_1} – {Y_2},{Z_1} – {Z_2}} \right) \)

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор \( \overrightarrow{a\ } \) и действительное число \( k \).

Определение Произведением вектора \( \overrightarrow{a\ } \) на действительное число \( k \) называется вектор \( \overrightarrow{b\ } \) удовлетворяющий следующим условиям:

  1. Длина вектора \( \overrightarrow{b\ } \) равна \( \left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }| \);

  2. Векторы \( \overrightarrow{a\ } \) и \( \overrightarrow{b\ } \) сонаправлены, при \( k\ge 0 \) и противоположно направлены, если \( k\le 0 \)

Обозначение: \( \ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ } \).

ВектораФормулы Геометрия Алгебра Теория Обозначения

Пусть даны векторы \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \). Построить вектор \( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \).

Построим произвольную точку \( O \) и отложим от нее векторы \( \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} \). Соединив точку \( B \) с точкой \( A \), получим вектор \( \overrightarrow{BA} \).

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA} \]

То есть

\[ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a} \]

Из определения 2, получаем, что

\[ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA} \]

\( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA} \).

Дан прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Доказать, что \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1} \)

Воспользуемся свойством правила треугольника \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \), получим:

\[ \overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1} \]

Так как \( \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1} \)

То есть

\[ \overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1} \]

ч. т. д.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

  • Вектор. Определение и основные понятияВектор – это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление.
  • Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат
  • Декартовы координаты и векторы в пространствеДекартовы координаты – система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей.
  • Умножение вектора на число Произведением вектора u≠0 на число λ≠0 называется вектор w, модуль которого равен |λ||u|, направление которого совпадает с вектором u при λ>0 и противоположно ему при λ

Источник: https://calcsbox.com/post/slozenie-i-vycitanie-vektorov.html

Сложение и вычитание векторов. урок. Геометрия 8 Класс

Результирующий вектор

Тема: Векторы

Урок: Сложение и вычитание векторов

На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противонаправленными.

Теперь пусть задано два вектора – вектора  и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . Из точки В отложим вектор . Тогда вектор  называют суммой заданных векторов:  (см. Рис. 1).

Рис. 1

Данное определение можно объяснить так: пусть был задан груз, и сначала на него подействовала сила  – он переместился из точки А в точку В, после этого подействовала сила  – груз переместился из точки В в точку С. Но в результате действия двух этих сил груз переместился из точки А в точку С.

Таким образом, мы получили определение суммы двух векторов – правило треугольника.

Правило треугольника

Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.

Можно провести аналогию с числами. Мы ввели понятие числа, научились складывать числа, определили законы сложения и так далее. Теперь мы ввели понятие вектора, научились находить равные вектора, складывать вектора. Теперь нужно определить законы сложения.

Законы сложения векторов

Для любых векторов ,  и  справедливы следующие равенства:

 – переместительный закон.

Доказательство: отложим из точки сначала вектор , получаем точку В, из нее откладываем вектор , получаем точку С и вектор .

Теперь отложим из точки А сначала вектор  получим точку В, из нее отложим вектор, получим точку С и вектор .

Чтобы доказать равенство полученных векторов, выполним оба построения из одной точки и получим таким образом правило параллелограмма (см. Рис. 2).

Рис. 2

Откладываем из точки А вектор  и вектор . Из точки В откладываем вектор , вектора  и  равны, а значит, стороны ВС и АВ1 четырехугольника АВСВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма. , таким образом, мы доказали переместительный

Рис. 3

закон сложения векторов и получили правило параллелограмма (см. Рис. 3).

Правило параллелограмма

Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.

 – сочетательный закон;

Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат  (см. Рис. 4).

Рис. 4

В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов , после прибавили ее к вектору  и получили результат:  (см. Рис. 5).

Таким образом, мы доказали сочетательный закон сложения векторов.

Рис. 5

Правило многоугольника

Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).

Рис. 6

По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.

Пусть задано два вектора – векторы  и . Найдем разность этих двух векторов .

Определение

Разностью двух векторов  и  называют такой третий вектор, сумма которого с вектором  равна вектору .

Если задан вектор , то можно построить противоположный ему вектор , который будет равен по длине, но противонаправлен. Сумма противоположных векторов всегда есть нулевой вектор: . Таким образом, .

Отложим из произвольной точки вектор , из его конца отложим вектор , получим в результате вектор  (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рассмотрим вычитание векторов на параллелограмме. Из точки А отложим векторы  и . Из точек В и D отложим векторв  и  соответственно. Диагональ АС – это сумма векторов  и : . Но в параллелограмме есть еще вторая диагональ – BD. Прибавим к вектору  вектор , получим вектор  (см. Рис. 8).

Рис. 8

Итак, на данном уроке мы вывели правила сложения и вычитания векторов при помощи треугольника и параллелограмма, сформулировали законы сложения векторов.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Задание 1: дан треугольник , найдите сумму векторов:  и ;  и ;  и ;  и .
  2. Задание 2: турист прошел 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы  и  Равны ли векторы  и ?
  3. Задание 3: начертите попарно неколлинеарные векторы ,  и  и постройте векторы , , .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/vektory/slozhenie-i-vychitanie-vektorov

Вектор: определение, сложение, умножение, скалярное и векторное произведение

Результирующий вектор

В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.

Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.

Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.

Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.

Векторные компоненты

Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.

Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.

Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов Ax, Ay и Az .

Единичный вектор

Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.

Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.

Умножение вектора на скаляр

Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:

Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение двух векторов

Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью

Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ

B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.

Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.

Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы ехеY и еz, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:

Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B

мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B

Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:

Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:

Векторное произведение двух векторов

Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.

В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:

  • длина
  • направление
  • начало и конец

Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом

Направление

Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.

Длина

вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.

Начало и конец

Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.

Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.

Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A

В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.

Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.

В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.

При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).

Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:

Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:

Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта

Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:

Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:

Источник: https://meanders.ru/vektor.shtml

Векторы

Результирующий вектор

Никто не будет спорить, что к месту назначения невозможно добраться не зная направления движения. В физике это понятие называется вектором. До этого момента мы с вами оперировали некоторыми числами и значениями, которые называются величинами. Вектор отличается от величины наличием направления.

При работе с вектором оперируют его направлением и величиной. Физический параметр без учета направления называют скаляром.

Визуально вектор отображают в виде стрелки. Длина стрелки – величина вектора.

В физике для обозначения векторов используют заглавную букву со стрелкой наверху.

Векторы можно сравнивать. Два вектора будут равны, если они имеют одинаковую величину и направление.

1. Сложение векторов

Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?

Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.

  • Вектор А – Киев-Москва
  • Вектор В – Москва-Львов
  • Вектор С – Киев-Львов

С = А+В, где С – сумма векторов или результирующий вектор

Переместительный и сочетательный законы при сложении векторов…

2. Вычитание векторов

Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:

  • Вектор А = С-В
  • Вектор В = С-А

3. Векторы и числа

Наложим на наши вектора координатную сетку. Для вектора А можно сказать, что он направлен на 5 клеток вверх (положительное значение оси Y) и на 3 клетки влево (отрицательное значение оси Х): X=-3; Y=5.

Для вектора В: направление на 4 клетки влево и 7 клеток вниз: X=-4; Y=-7.

Т.о., для сложения векторов по осям X и Y надо сложить их координаты. Чтобы получить координаты результирующего вектора по осям X и Y:

А(-3;5) + В(-4;-7) = С(-7;-2)

Умножение вектора на число…

4. Разбиение векторов на координаты

Координаты вектора…

Рассмотрим задачу: шар движется со скоростью 10м/с по наклонной плоскости с длиной основания X=1м, распложенной под 30° к горизонту. Требуется определить время, за которое шар переместится от начала к концу плоскости.

В данной задаче скорость является вектором V с величиной 10м/с и направлением α=30° к горизонтали.

Чтобы определить скорость перемещения шара вдоль основания наклонной плоскости, нам надо определить X-составляющую перемещения шара, которая является скаляром (имеет только значение, но не направление) и обозначается Vx.

Аналогично, Y-составляющая скорости также скаляр и обозначается Vy. Вектор скорости через составляющие: V = (Vx;Vy)

Определим составляющие (Vx;Vy). Вспоминаем тригонометрию:

Vx = V·cosα
Vy = V·sinα

Х-составляющая скорости шара:

Vx = V·cosα = V·cos30° = 10,0·0,866 = 8,66 м/с

Горизонтальная скорость шара равна 8,66 м/с.

Т.к. длина основания наклонной плоскости равна 1м, то это расстояние шар преодолеет за:

1,00(м)/8,66(м/с) = 0,12 с

Т.о., шару потребуется 0,12с для перемещения вдоль наклонной плоскости. Ответ: 0,12с

Интереса ради определим Y-составляющую скорости:

Vy = V·sinα = 10·1/2 = 5,0 м/с

Поскольку время “путешествия” шара одинаково для обеих составляющих, то можем определить высоту Y, с которой катился шар:

5,0(м/с)·0,12(с) = 0,6 м

Расстояние, пройденное шаром:

L = √1,002 + 0,602 = √1,36 = 1,16м

Обратная задача

Рассмотрим задачу, обратную предыдущей:

Шар переместился вдоль наклонной плоскости на высоту 0,6м, при этом в горизонтальной плоскости его перемещение составило 1,0м. Необходимо найти расстояние, пройденное шаром и угол.

Расстояние вычисляем по теореме Пифагора:

L = √1,002 + 0,602 = √1,36 = 1,16м

По тригонометрии:

X = L·cosα; Y = L·sinα

X/L = cosα; Y/L = sinα

Теперь можно найти угол:

α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)

Подставляем цифры:

α = arccos(1/1,16) = 30°

Промежуточное вычисление L можно исключить:

Y = X·tgα

α = arctg(Y/X)

Источник: https://prosto-o-slognom.ru/fizika/06_vektor.html

Books-med
Добавить комментарий